非线性振动系统的多项式向量方法
金栋平
摘要：对于常微分方程描述的非线性振动系统，当采用摄动方法求近似解时，先是给出满足各阶近似解的二阶常微分方程组，继而依次对每一个常微分方程进行求解，以致多自由度非线性振动系统的求解过程相当繁琐。本文针对常微分方程表示的非线性振动系统，提出了一种求解非线性振动系统近似解的多项式向量方法，该方法将二阶常微分方程组表示成一阶状态方程组，将非线性部分写成常数矩阵和多项式向量之积的形式。然后，采用直接摄动方法，获得每个幂次近似解所满足的一组状态方程，此时状态方程的非线性部分成为常数矩阵和前一幂次近似解作为元素组成的多项式向量的乘积。进一步，借助Toeplitz矩阵将多项式向量之乘法表示成矩阵形式，以解决多项式相乘带来的幂次方系数的确定问题，再根据一阶非齐次方程组的求解方法，获得状态方程组的全部近似解析解。多项式向量方法将二阶常微分描述的非线性振动求解过程转换为一阶非齐次状态方程组的求解问题，计算过程主要是矩阵和向量之间乘法运算，提高了计算效率和程序化水平。
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